Электрические линейные схемы

Линейные электрические цепи

Электрической цепью называется совокупность элементов, образующих пути для прохождения электрического тока. Электрическая цепь состоит из активных и пассивных элементов.

Активными элементами считаются источники электрической энергии (источники напряжения и тока), к пассивным элементам относятся резисторы, катушки индуктивности, электрические конденсаторы.

Количественные характеристики элементов электрической цепи называются ее параметрами . Например, параметрами источника постоянного напряжения являются его ЭДС и внутреннее сопротивление. Параметром резистора служит его сопротивление катушки — ее индуктивность L и конденсатора — емкость С.

Напряжение или ток, подводимые к цепи, будем называть воздействующим или входным сигналом . Воздействующие сигналы можно рассматривать как различные функции времени, изменяющиеся по некоторому закону z ( t ) . Например, z ( t ) может быть постоянной величиной, изменяться во времени по периодическому закону или иметь апериодический характер.

Напряжения и токи, возникающие под влиянием внешнего воздействия в интересующей нас части электрической цепи и также являющиеся функциями времени х( t ) , будем называть реакцией (откликом) цепи или выходным сигналом .

Любой пассивный элемент реальной электрической цепи в той или иной степени обладает активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью. Однако, чтобы облегчить изучение процессов в электрической цепи и ее расчет, реальная цепь заменяется идеализированной, состоящей из отдельных пространственно разделенных элементов R, L, С.

При этом считается, что проводники, соединяющие элементы цепи, не обладают активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью. Такая идеализированная цепь называется цепью с сосредоточенными параметрами , и основанные на ней расчеты дают во многих случаях хорошо подтверждаемые опытом результаты.

Э лектрические цепи с постоянными параметрами — это такие такие цепи, в которых сопротивления резисторов R, индуктивность катушек L и емкость конденсаторов С являются постоянными, не зависящими от действующи в цепи токов и напряжений. Такие элементы называются линейными .

Если сопротивление резистора R не зависит от тока, то линейная зависимость между падением напряжения и током выражается законом Ома ur = R х ir, а вольт-амперная характеристика резистора (представляет собой прямую линию (рис. 1,а).

Если индуктивность катушки не зависит от величины (протекающего в ней тока, то потокосцепление самоиндукции катушки ψ прямо пропорционально этому току ψ = L х il (рис. 1,б).

Наконец, если емкость конденсатора С не зависит от приложенного к обкладкам напряжения uc то заряд q, накопленный на пластинах, и напряжение uc связаны между собой линейной зависимостью графически показанной на рис. 1, в .

Рис. 1. Характеристики линейных элементов электрической цепи: а — вольт-амперная характеристика резистора, б — зависимость потокосцепления от тока в катушке, в — зависимость заряда конденсатора от напряжения на нем.

Линейность сопротивления, индуктивности и емкости носит условный характер, так как в действительности все реальные элементы электрической цепи являются нелинейными. Так, при прохождении тока через резистор последний нагревается и его сопротивление изменяется.

Чрезмерное увеличение тока в катушке с ферромагнитным сердечником может несколько изменит ее индуктивность. В той или иной степени изменяется емкость конденсаторов с различными диэлектриками в зависимости от приложенного напряжения.

Однако в нормальном рабочем режиме элементов эти изменения обычно столь незначительны, что при расчетах могут не приниматься во внимание и такие элементы электрической цепи считаются линейными.

Транзисторы, работающие в режимах, когда используются прямолинейные участки их вольт-амперных характеристик, также условно могут рассматриваться как линейные устройства .

Электрическая цепь, состоящая из линейных элементов, называется линейной электрической цепью . Линейные цепи характеризуются линейными уравнениями для токов и напряжений и заменяются линейными схемами замещения. Линейные схемы замещения составляются из линейных пассивных и активных элементов, вольтамперные характеристики которых линейны. Для анализа процессов в линейных электрических цепях используются законы Кирхгофа.

Какие бывают электрические схемы?

Общая классификация

Для начала следует разобраться, что подразумевают под типами, а что под видами документов. Итак, согласно ГОСТ 2.701-84, существуют следующие виды схем (в скобках краткое обозначение):

  1. Электрические (Э).
  2. Гидравлические (Г).
  3. Пневматические (П).
  4. Газовые (Х).
  5. Кинематические (К).
  6. Вакуумные (В).
  7. Оптические (Л).
  8. Энергетические (Р).
  9. Деления (Е).
  10. Комбинированные (С).

Что, касается типов, основными считаются:

  1. Структурные (1).
  2. Функциональные (2).
  3. Принципиальные (полные) (3).
  4. Соединений (монтажные) (4).
  5. Подключения (5).
  6. Общие (6).
  7. Расположение (7).
  8. Объединенные (8).

Исходя из указанных обозначений, можно по наименованию электросхемы понять ее вид и тип. Как пример, документ с названием Э3 является принципиальной электрической схемой. С виду она выглядит так:

Далее мы подробно рассмотрим, назначение и состав каждой из перечисленных типов электросхем. Рекомендуем перед этим ознакомиться со стандартными условными обозначениями на схемах, чтобы было еще проще понять, что собой представляет каждый вариант чертежа.

Назначение каждой электросхемы

Структурная

Этот тип документа является наиболее простым и дает понимание о том, как работает электроустановка и из чего она состоит. Графическое изображение всех элементов цепи позволяет изначально увидеть общую картину, чтобы переходить к более сложному процессу подключения или же ремонта. Порядок чтения обозначается стрелочками и поясняющими надписями, что позволяет разобраться в структурной электрической схеме даже начинающему электрику. Принцип построения Вы можете увидеть на примере ниже:

Функциональная

Функциональная электросхема установки, по сути, не слишком отличается от структурной. Единственное отличие – более подробное описание всех составляющих узлов цепи. Выглядит этот документ следующим образом:

Принципиальная

Принципиальная электрическая схема чаще всего применяется в распределительных сетях, т.к. дает самое раскрытое пояснение о том, как работает рассматриваемое электрооборудование. На таком чертеже должны обязательно быть указаны все функциональные узлы цепи и вид связи между ними. В свою очередь, принципиальная электросхема может иметь две разновидности: однолинейная или полная. В первом случае на чертеже изображают только первичные сети, называемые также силовыми. Пример однолинейного изображения Вы можете увидеть ниже:

Полная принципиальная схема может быть развернутой или элементной. Если электроустановка несложная и на один главный чертеж можно нанести все пояснения, достаточно сделать развернутый план. Если же Вы имеете дело со сложной аппаратурой, которая имеет в составе цепь управления, автоматизации и измерения, лучше разнести все отдельные узлы на разные листы, чтобы не запутаться.

Существует также принципиальная электросхема изделия. Этот тип документа представляет собой своеобразную выкопировку из общего плана, на которой обозначено только, как работает и из чего состоит определенный узел.

Эту разновидность электрических схем мы чаще всего используем на сайте, когда рассказываем о том, как самостоятельно выполнить монтаж электропроводки. Дело в том, что на монтажной электросхеме можно показать точное расположение всех элементов цепи, способ их соединения, а также буквенно-цифровые характеристики составляющих чертеж установок. Если взять за пример схему электропроводки в однокомнатной квартире, на ней мы увидим, где нужно размещать розетки, выключатели, светильники и остальные изделия.

Основное назначение монтажной схемы – руководство для проведения электромонтажных работ. Согласно подготовленному чертежу можно понять, где, что и как нужно подключать.

Кстати, монтажной также считается электросхема соединений, которая предназначена для подключения электрооборудования, а также соединения установок между собой в пределах одной цепи. При подключении бытовой техники руководствуются именно монтажной схемой.

Объединенная

Ну и последней из применяемых в распределительных сетях электросхемой является объединенная, которая может включать в себя несколько видов и типов документов. Ее используют в том случае, если можно без сильного нагромождения чертежа обозначить все важные особенности цепи. Используют объединенный проект чаще всего на предприятиях. Домашним мастерам такой тип схемы вряд ли может встретиться. Пример Вы можете увидеть ниже:

Существует также схема кабельных трасс, которая представляет собой упрощенный план прокладки кабельной линии к распределительным пунктам и трансформаторным подстанциям. Ее назначение аналогично монтажной электросхеме – с помощью данного документа монтажники руководствуются как вести линию от точки А к точке Б.

Напоследок рекомендуем просмотреть полезное видео по теме:

Вот мы и рассмотрели основные виды и типы электрических схем, а также их назначение и характеристики. Зная условные обозначения и имея под рукой всю нужную документацию совсем не сложно разобраться в том, как работает та или иная установка.

Будет интересно прочитать:

Примеры однолинейной схемы электроснабжения

Для упрощения чертежей и их восприятия применяются различные методики. Часто используется однолинейная схема электроснабжения жилого дома, предприятия или частного строения, которая способствует разработке и пониманию сложных проектов.

Что такое однолинейная схема

Главной особенностью однолинейной схемы является то, что данная принципиальная схема состоит полностью из одних линий обозначения трехфазных или двухфазных цепей. Такой подход позволяет обеспечить более целесообразное использование технической документации. Т.е. в один техпроект можно поместить несколько разных чертежей, не связанных друг с другом.

Фото – однолинейная схема

Существует два типа таких схем:

Расчетная однолинейная схема помещения в основном используется после готового просчета нагрузок, необходимых для питания отдельного здания. Иногда её проектируют после того, как будет рассчитана потребность проводов и питающих кабелей.

Исполнительная принципиальная однолинейная схема используется для перерасчета действующей системы подачи энергии. В большинстве случаев, это необходимо для внесения серьезных изменений в уже устанавливающийся проект.

Фото – однолинейная схема подстанции

Видео: пример работы с контуром электроснабжение

Как выполнить однолинейную схему

Электрическая однолинейная схема электроснабжения квартиры, дома, частного предприятия выполняется по требованиям ГОСТ 2.702-75. Согласно нормам, у Вас должно получится изображение 3 фаз, питающих сеть конкретного помещения и линии групповых сетей, которые отходят от питающих. При этом схему не нужно подробно детализировать, основная её цель – давать представление про общую конструкцию системы электрического снабжения.

Фото – Принципиальная схема подстанции

Именно благодаря такой подаче информации, в итоге получается достаточно простой чертеж, четко передающий основные параметры сети питания. Многие начинающие электрики могут усомниться в эффективности таких чертежей, ведь кажется, что непонятно, как их отобразить тогда трехфазное или двухфазное питание.

Все очень просто: возле линии, которая определяет многофазное питание ставится цифра и перечеркнутый штрих, как на фото ниже. Цифра в такой схеме отвечает за определение количества фаз, а перечеркнутая косыми отрезками линия – это определение фазы.

Помимо отображения отдельных проводов, также важно изобразить на чертеже дополнительные детали электрической схемы. Для обозначения УЗО квартиры, контакторов, выключателей и прочих дополнительных элементов, Вам также нужно ознакомиться с ГОСТ 2.709, который предоставляется как в ПДФ, так и обычным текстом. В этом документе указываются общепринятые варианты черчения подобных элементов.

Рассмотрим пример однолинейной схемы квартиры (также можно использовать для электроснабжения дома):

Фото – пример однолинейной схемы

Для защиты групповых линий от перегрузки и общей цепи помещения от электрического замыкания, используются автоматические выключатели. Их, в свою очередь, на чертеже «подстраховывают» устройства сверхтоков. В схему в обязательном порядке нужно включить не только основные её составляющие (кабеля ввода, заземления, УЗО), но и розетки, выключатели света в комнатах.

На чертеже выше Вы можете обратить внимание, что возле перечеркнутых линий косыми штрихами нет цифр. Вместо них используется определение фазы по количеству штрихов. Если на схеме показано 2 штриха – то питание двухфазное, если 3 – то, соответственно, трехфазное. Но при этом однофазная проводка обозначается одной линией с одним штрихом.

Такое подключение отлично демонстрирует однолинейная схема трансформатора КТП:

Фото – однолинейная схема трансформатора ктп

Примеры того, что должна включать однолинейная типовая схема электроснабжения поликлиники, квартиры, загородного или дачного дома, завода или прочих помещений:

  1. Точку, где объект подключается к электрической сети;
  2. Все ВРУ (вводно-распределительные устройства);
  3. Точку и марку прибора, который используется для подключения помещения (в большинстве случаев, нужны также параметры щита);
  4. Нужно не только начертить кабель питания, но и отметить на схеме его сечение и марку, иногда мастера помечают номинал;
  5. Проект должен содержать данные про номинальные и максимальные токи оборудования, которое используется на объекте.

Еще очень важно использовать примерные расчетные нагрузки, которые могут стать максимальными для определенной сети электропитания (АТС) Вашего поселка, города. Правила выполнения могут варьироваться в зависимости от требования к конкретным помещениям.

Вы должны уделять внимание любой мелочи, ведь основные требования к проекту выдвигаются снабжающей электричеством компанией. Именно однолинейная схема электроснабжения предприятия, дома, цеха является основополагающим документом согласно ГОСТ, который отвечает за эксплуатационные ответственности разных сторон. В особенности она необходима для подключения к локальной сети дома с АВР:

Фото – дом с авр

Чтобы бесплатно разработать однолинейную схему электроснабжения детского учреждения, частных построек (гаражей, домов, квартир, киосков), многоэтажного жилого здания, завода (СНТ), вахтовых вагонов, Вам понадобится ЕСКД. ЕСКД – это Единая система конструкторской документации.

Дома однолинейная схема электроснабжения чертится вручную или при помощи AutoCAD (чертёжная программа). Данный софт поможет разработать проект для любого объекта (офиса, торгового павильона, подстанции, школы, магазина, коттеджа, НПС) и потребителей.

Как шаблон, представляем однолинейную схема ЗРУ-10 кВ, к слову, по её аналогии разрабатывается схема ИБП АББМ:

Фото – однолинейная схема ЗРУ 10 кВт

Для разработки схемы при помощи специалистов, Вам нужно будет обратиться в конструкторское бюро своего города. Такие учреждения есть в Белгороде, Москве, Санкт-Петербурге и других крупных и средних населенных пунктах.

Линейные электрические цепи переменного тока

Для электрической цепи рис.6, соответствующей номеру варианта [2], выполнить следующее:

1) Определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях, используя один из методов расчета линейных электрических цепей.

2) Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов.

Рисунок 6 — Исходная электрическая схема

Линейная схема на переменном токе. Схема состоит из двух активных элементов и четырех пассивных.

Для удобного ввода и вывода можно использовать интерфейс [5]. Пользователю предлагается вести в ячейки значение:

E1-значение идеального источника напряжения E1 вольт,

E2- значение идеального источника напряжения E2 вольт,

W-значение частоты источников Е1 и Е2 герц,

P1-значение начальной фазы источника Е1 градус,

P2-значение начальной фазы источника Е2 градус,

L1-значение индуктивности катушки L1 генри,

L2-значение индуктивности катушки L2 генри,

С1-значение емкости конденсатора С2 фарад,

R1- значение сопротивление на резисторе R3 ом.

После этого нажать кнопку «Решить».

Интерфейс представлен на рис.7, текст программы смотрите Приложение Б.

Рисунок 7- Окно интерфейса

Схема в окне редактора [5] представлена на рис.8

Рисунок 8 — Схема в окне редактора

После запуска симуляции. В отдельном окне выводится таблица со значениями. В окне интерфейса строится векторная диаграмма токов и напряжений.

Таблица 2 — Контрольные значения

Результат токов на рис.9, векторная диаграмма токов рис.10.

Для проверки токов можно воспользоваться первым и вторым законом Кирхгофа формула (2) [3].

Рисунок 9 -Значение токов в амперах

Рисунок 10-Диаграмма токов и напряжений

Для проверки векторной диаграммы [5] токов достаточно, чтобы график начинался в узле a равный ноль вольт, строится заземленный узел, в узле b обход по трем ветвям должен дать одинаковое значение потенциала b.

Вывод. Используя Simulink раздел SimPowersystem можно рассчитывать электрические линейные схемы на переменном токе. Можно вычислить ток в каждой из ветви, измерить напряжения в узлах. Используя связь графического интерфейса и Simulink, даёт возможность быстро изменять параметры схемы, не меняя параметры в рабочем окне. В отдельном окне можно построить графики, которые дают наглядное представление закона Кирхгофа.

Электрические фильтры

Произвести расчет режимов работы фильтра типа k по исходным данным [2]. Фильтр нижних частот собран по П-образной схеме рис.11. Ёмкость каждого конденсатора С, индуктивность катушки L. На входные зажимы фильтра подано напряжение при частоте f. К выходным зажимам фильтра подключено сопротивление, согласованное на заданной частоте с характеристическим сопротивлением фильтра.

Рисунок 11 -Исходный П образный фильтр

Схема является четырехполюсником. Схема собрана по П-образным фильтром нижних частот. Состоит из катушки индуктивности и двух параллельных конденсаторов.

Для удобного ввода и вывода можно использовать интерфейс [6]. Пользователю предлагается вести в ячейки значение:

E2- значение идеального источника напряжения E1 вольт,

L1-значение индуктивность катушки L генри,

C1-значение полной емкости конденсаторов цепи фарад,

F-значение частоты идеального источника напряжения E1 герц,

F0- значение начальной фазы идеального источника напряжения E1 в градусах.

После этого нажать кнопку «Решить».

Интерфейс представлен на рис.12, текст программы смотрите Приложение В.

Рисунок 12-Окно интерфейса

Схема в окне редактора [5] представлена на рис.13

Рисунок 13 -Схема П-образного фильтра в окне редактора

После запуска симуляции. В отдельном окне выводится таблица со значениями рис.14. В другом окне строится векторная диаграмма токов и напряжений рис.15.

Таблица 3 — Контрольные значения

Рисунок 14-Значение тока в амперах, напряжение в вольтах, сопротивление в омах

Рисунок 15-Векторная диаграмма токов и напряжений

Для проверки векторной диаграммы токов и потенциалов [4], достаточно чтобы график ток совпадал с напряжением на сопротивление и отставал на девяносто градусов от выходного напряжения.

Чтобы исследовать характеристики П-образного фильтра [3], например передаточные, удобно воспользоваться разделом SimRF подпункте Filtres. В этом подпункте находятся готовые модели фильтров с изменяемые параметрами:

Индуктивность катушки в генри,

Ёмкость для двух конденсаторов в фарадах,

Диапазон частот начальную частоту, шаг частоты и конечную частоту в герцах,

Входное сопротивление в омах,

Напряжение источника в вольтах.

Пользователю нужно открыть вкладку блока Output Port выбрать нужные характеристики, например параметры S11, S12, S21, S22, предаточные функции.

Выбирая между real и phase, можно построить АЧХ или ФЧХ [3]. Характеристики представлены на рис.17, рис.18, рис.19, рис.20.

Исследования характеристик П-образного фильтра рис.16.

Рисунок 16 -Схема П-образного фильтра в редакторе

Передаточная АЧХ RLC(R) цепи рис.17. Линия S12. На частоте от 0 до 8000Гц.

Рисунок 17-Передаточное АЧХ

Передаточная АЧХ RLC(L) цепи рис.18. Линия S22. На частоте от 0 до 8000Гц.

Рисунок 18-Передаточное АЧХ

Передаточная ФЧХ RLC(C) цепи рис.19. Линия S11. На частоте от 0 до 8000Гц.

Рисунок 19-Передаточное ФЧХ

Передаточная ФЧХ RLC(R) цепи рис.20. Линия S12. На частоте от 0 до 8000Гц.

Рисунок 20-Передаточное ФЧХ

Для доказательства фильтра нижних частот, достаточно чтобы при высоких частотах значение по АЧХ или ФЧХ ниже полосы пропускания [4].

Вывод. Используя Simulink раздел SimPowersystem, SimRF можно рассчитывать фильтры и их характеристики. Можно исследовать придаточные характеристики и строить векторные диаграммы токов и напряжений. Используя связь графического интерфейса и Simulink, даёт возможность быстро изменять параметры схемы, не меняя параметры в рабочем окне. В отдельном окне можно построить графики, которые дают наглядное представление характеристик П-фильтров и доказывают их принадлежность к фильтрам низких частот.

Смотрите так же:  Наконечники провода под м6

линейный цепь электрический ток

Использования пакет Simulink можно рассчитывать линейные цепи двухполюсников и четырёхполюсников. Данные полученные из Simulink могут быть использованы для проверки, закрепление материала по предмету Основы Теории цепей. Можно наглядно увидеть значение величин в данной работе это ток и напряжение. Как они изменяются со временем на определённой частоте.

Измеряя цепь на постоянном токе в разделе Simpower system, опираясь на Теорию цепей можно проверить, токи по первому закону Кирхгофа, и по диаграмме потенциалов. Для этого нужно снять показания с узлов, напряжения с элементов. Оно делается автоматически в блоке Multimetr. В цепи с переменным током появились дополнительные параметры. Катушка индуктивности, конденсатор, частота источника, начальная фаза источника. Результат выводится в комплексном виде. Комплексную форму применима в построение векторной диаграммы токов и напряжений, которая показывает изменения векторов тока за один период.

Исследуя П-фильтр, задача была в доказательстве, что этот фильтр является фильтром низких частот. Раздел simRF находятся модели фильтров с изменяющимися параметрами такими как: индуктивность, ёмкость, пределы частот измерения, входное сопротивление. Для реализации источника использовал источник дискретного сигнала. Построив графики передаточных АЧХ и ФЧХ подтверждает, что фильтр низких частот.

Однолинейные схемы

Специалисты компании «Электрик-Мастер» разрабатывают исполнительные и расчетные однолинейные схемы электроснабжения предприятий и частных объектов. А также, однолинейные схемы балансовой принадлежности и эксплуатационной ответственности электрических сетей.

Исполнительная схема электроснабжения выполняется, если электроустановка действующая. Для этого производится тщательное обследование объекта. В результате такого визуального обследования вы получаете однолинейную схему с текущим состоянием электрической сети и рекомендации по устанению возможных дефектов.

Проект электроустановки выполняется, если объект новый. Он включает в себя расчет нагрузок, выбор аппаратов защиты, сечение отходящих линий. В этом случае выполняется однолинейная расчетная схема, которая будет служить основополагающим документом при выполнении электромонтажных работ. Правильная схема электроснабжения дает гарантию электробезопасности людей, пожаробезопасности объекта, а также рекомендации по эксплуатации электроустановки.

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Основные положения и соотношения

1. Источники электрической энергии

Реальный источник электрической энергии можно изобразить двояко: а) в виде генератора напряжения, который характеризуется э.д.с. Е, численно равной напряжению холостого хода источника, и включенной последовательно с сопротивлением r (рис. 1, а), б) в виде генератора тока, который характеризуется током Iк, численно равным току короткого замыкания реального источника, и параллельно соединенной проводимостью g (рис. 1, б).

Переход от генератора напряжения к эквивалентному генератору тока осуществляется по формулам

I к = E r 0 , g 0 = 1 r 0 , (1)

а обратный переход от генератора тока к эквивалентному генератору напряжения по следующим формулам

E = I к g 0 , r 0 = 1 g 0 . (2)

У идеального генератора напряжения внутреннее сопротивление равно нулю, тогда как у идеального генератора тока внутренняя проводимость равна нулю.

Закон Ома применяется для ветви или для одноконтурной замкнутой цепи (не имеющей разветвлений).

Для написания закона Ома следует прежде всего выбрать произвольно некоторое положительное направление для тока.

а) Для ветви, состоящей только из сопротивлений и не содержащей э.д.с. (например, для ветви mn на рис. 2), при положительном направлении для тока от точки m к точке n ток равен

I = φ m − φ n r m n = U m n r m n . (3)

Пример – в задаче 17.

б) Для замкнутой одноконтурной цепи

где Σr – арифметическая сумма всех внешних и внутренних сопротивлений цепи, ΣE – алгебраическая сумма ее электродвижущих сил.

Со знаком плюс берут те э.д.с., направления которых совпадают с выбранным положительным направлением для тока, и со знаком минус – э.д.с. с противоположными направлениями.

Примеры – в задачах 15 и 17.

в) Для ветви, содержащей э.д.с. и сопротивления (например, для ветви acb на рис. 2),

I 1 = φ a − φ b + Σ E Σ r a b = U a b + E 1 − E 2 r 1 + r 2 + r 9 , (5)

где Uab = φaφb – напряжение на концах ветви acb, отсчитываемое по выбранному положительному направлению тока, ΣE – алгебраическая сумма э.д.с., находящихся в этой ветви, а Σr – арифметическая сумма ее сопротивлений.

Формулу (5) называют обобщенным законом Ома.

Примеры – в задачах 15 и 17.

Для написания законов Кирхгофа следует прежде всего задаться положительными направлениями для токов в каждой ветви.

Первый закон Кирхгофа

∑ k = 1 n I k = 0, (6)

Алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в любом узле, равна нулю. Токи, притекающие к узлу, условно принимаются положительными, а вытекающие из него – отрицательными (или наоборот).

Второй закон Кирхгофа

∑ k = 1 n I k ⋅ r k = ∑ k = 1 n E k . (7)

Алгебраическая сумма падений напряжений любого замкнутого контура равна алгебраической сумме э.д.с. в нем.

Направление обхода контура выбирается произвольно. При записи левой части равенства со знаком плюс берутся падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление тока совпадает с направлением обхода (независимо от направления э.д.с. в этих ветвях), и со знаком минус – падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление, тока противоположно направлению обхода. При записи правой части равенства э.д.с., направления которых совпадают с выбранным направлением обхода (независимо от направления тока, протекающего через них), принимаются положительными, а э.д.с., направленные против выбранного направления обхода, принимаются отрицательными.

Пример – в задаче 29.

Распределение напряжений при последовательном соединении двух сопротивлений (см. рис. 2)

I 1 = U 1 r 1 = U 2 r 2 = U r 1 + r 2 ,

U 1 = U ⋅ r 1 r 1 + r 2 , U 2 = U ⋅ r 2 r 1 + r 2 . (8)


Распределение токов в двух параллельных ветвях
– формула разброса токов или формула делителя токов (рис. 3)

U 2 = U 3 = U 2,3 , I 2 ⋅ r 2 = I 3 ⋅ r 3 = I 1 ⋅ r 2,3 = I 1 ⋅ r 2 ⋅ r 3 r 2 + r 3 ,

I 2 = I 1 ⋅ r 3 r 2 + r 3 , I 3 = I 1 ⋅ r 2 r 2 + r 3 . (9)

Распределение напряжений при последовательном соединении n сопротивлений

U k = U ⋅ r k ∑ k = 1 n r k .

Распределение токов в n параллельных ветвях

I k = I ⋅ g k ∑ k = 1 n g k .

4. Методы расчета сложных цепей постоянного тока

Пусть электрическая цепь состоит из p ветвей и имеет q узлов.

Применение законов Кирхгофа

Прежде всего, устанавливается число неизвестных токов, которое равно числу ветвей (p). Для каждой ветви задаются положительным направлением для тока.

Число n1 независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов без единицы

Число n2 независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно числу ячеек (контуров)

Общее число уравнений n, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов

Решение этой системы уравнений дает значения искомых токов.

Пример — в задаче 29.

Метод контурных токов (МКТ, Максвелла).

Число n независимых контуров цепи равно числу уравнений по второму закону Кирхгофа

Расчет цепи методом контурных токов, состоящей из n независимых контуров, сводится к решению системы из n уравнений, составляемых для контурных токов I11, I22, …, Inn; ток в каждой ветви находится как алгебраическая сумма контурных токов, обтекающих эту ветвь.

Выбор направлений контурных токов произволен. Каждая из ветвей сложной электрической цепи должна войти хотя бы в один контур.

Система уравнений МКТ для n контурных токов имеет вид

Здесь rkk – собственное сопротивление контура k (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур k), rkl – общее сопротивление контуров k и l, причем rkl = rlk; если направления контурных токов в ветви, общей для контуров k и l, совпадают, то rkl положительно (rkl > 0), в противном случае rkl – отрицательно (rkl < φ 1 ⋅ g 11 + φ 2 ⋅ g 12 + … + φ n ⋅ g 1 n = ∑ 1 E g ; φ 1 ⋅ g 21 + φ 2 ⋅ g 22 + … + φ n ⋅ g 2 n = ∑ 2 E g ; ……………………………………………….. φ 1 ⋅ g n 1 + φ 2 ⋅ g n 2 + … + φ n ⋅ g n n = ∑ n E g . (11)

Здесь gss – сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу s; gsq – сумма проводимостей, соединяющих узел s с узлом q; – алгебраическая сумма произведений э.д.с. ветвей, примыкающих к узлу s, на их проводимости (т.е. токов короткого замыкания этих ветвей); при этом со знаком плюс берутся те из произведений Eg, в ветвях которых э.д.с. действуют в направлении узла s, и со знаком минус – в направлении от узла.

Определив потенциалы узлов, находят токи в ветвях посредством закона Ома.

Этим методом рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений здесь будет меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.

Примеры – в задачах 44 и 45.

Ток в любой ветви может быть рассчитан как алгебраическая сумма токов, вызываемых в ней каждой э.д.с. в отдельности. При этом надо иметь в виду, что когда ведется расчет для какой-либо одной действующей э.д.с., то вместо остальных источников должны быть включены сопротивления, равные внутренним сопротивлениям этих источников.

Примеры – в задачах 47 и 49.

Метод эквивалентных преобразований

Во всех случаях применения метода эквивалентных преобразований замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.

1) Замена последовательных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления последовательны, если они обтекаются одним и тем же током. Например, на схеме цепи, изображенной на рис. 2, сопротивления r1, r2 и r9 соединены последовательно; так же последовательны сопротивления r7 и r8.

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n последовательно соединенных участков, равно сумме этих сопротивлений этих участков

r э = r 1 + r 2 + … + r n = ∑ k = 1 n r k . (12)

2) Замена параллельных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления параллельны, если все они присоединены к одной паре узлов. Например (рис. 2), сопротивления r45 = r4 + r5 и r10 параллельны.

Эквивалентная проводимость цепи, состоящей из n параллельно соединенных ветвей равна сумме этих проводимостей этих ветвей. Эквивалентное сопротивление такой цепи находится как величина обратная эквивалентной проводимости этой цепи

1 r э = 1 r 1 + 1 r 2 + … + 1 r n = ∑ k = 1 n 1 r k . (13)

В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений r1 и r2 эквивалентное сопротивление

r э = r 1 ⋅ r 2 r 1 + r 2 . (14)

3) Замена смешанного соединения сопротивлений одним эквивалентным. Смешанное соединение – это сочетание последовательного и параллельного соединения сопротивлений. Например, сопротивления r1, r2 и r3 (рис. 3) находятся в смешанном соединении. Их эквивалентное сопротивление равно

r э = r 1 + r 2,3 = r 1 + r 2 ⋅ r 3 r 2 + r 3 . (15)

При смешанном соединении сопротивлений токи ветвей цепи (рис. 3):

по формуле разброса токов (делителя токов)

I 2 = I 1 ⋅ r 3 r 2 + r 3 , I 3 = I 1 ⋅ r 2 r 2 + r 3 .

4) Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 4, а) в эквивалентную звезду сопротивлений (рис. 4, б) и наоборот имеют вид

где g – проводимость соответствующей ветви.

Формулы (18) можно записать через сопротивления так

r 12 = r 1 + r 2 + r 1 ⋅ r 2 r 3 ; r 23 = r 2 + r 3 + r 2 ⋅ r 3 r 1 ; r 31 = r 3 + r 1 + r 3 ⋅ r 1 r 2 . (19)

Пример – в задаче 51.

Метод эквивалентного генератора напряжения (метод холостого хода и короткого замыкания или метод активного двухполюсника)

Для нахождения тока I в ветви ab, сопротивление которой r (рис. 5, а, буква А на рисунке обозначает активный двухполюсник), надо разомкнуть эту ветвь и при этом найти (любым способом) разность потенциалов на зажимах разомкнутой ветви – Uх (рис. 5, б). Затем надо вычислить сопротивление короткого замыкания rк, равное эквивалентному сопротивлению всей остальной цепи, вычисленному в предположении, что в ней отсутствуют э.д.с. (при этом внутренние сопротивления источников сохраняются) и что она питается от постороннего источника, присоединенного непосредственно к зажимам a и b (рис. 5, в; буква П на рисунке обозначает пассивный двухполюсник).

Сопротивление rк может быть вычислено либо непосредственно по схеме рис. 5, в, либо из соотношения

r к = U х I к , (20)

где Iк – ток короткого замыкания, протекающий по ветви ab, если ее сопротивление r сделать равным нулю (рис. 5, г).

Заданная схема (рис. 5, а) может быть заменена эквивалентным генератором напряжения с э.д.с. E = Uх и внутренним сопротивлением rэ = rк, присоединенным к зажимам ab сопротивления r (рис. 5, д).

Ток в искомой ветви, имеющей сопротивление r, определяется из формулы закона Ома

I = U х r + r к . (21)

Примеры – в задачах 55 и 56.

Метод эквивалентного генератора тока

В предыдущем пункте показано, как в любой сложной цепи можно получить эквивалентный генератор напряжения с э.д.с. E и внутренним сопротивлением rк. Этот генератор напряжения (рис. 5, д) на основании формул (1) может быть заменен эквивалентным генератором тока (рис. 1, б) по формулам

I к = U х r к , g 0 = 1 r к . (22)

где Iк – ток эквивалентного генератора тока, равный току короткого замыкания в той ветви, по отношению к которой производится эквивалентное преобразование всей остальной части цепи, g – внутренняя проводимость, равная эквивалентной проводимости всей остальной цепи между зажимами ab, к которым присоединен приемник энергии, в предположении, что э.д.с. всех генераторов равны нулю.

Пример – в задаче 65.

Метод замены нескольких параллельных генераторов напряжения одним эквивалентным

Если имеется несколько генераторов напряжения с э.д.с. E1, E2, …, En и внутренними сопротивлениями r1, r2, …, rn, работающие параллельно на общее сопротивление нагрузки r (рис. 6, а), то они могут быть заменены одним эквивалентным генератором напряжений, э.д.с. которого Eэ, а внутреннее сопротивление rэ (рис. 6, б),

Ток в сопротивлении r определится по формуле

I = E э r + r э . (24)

Ток в каждой из ветвей находится по формуле

I k = E k − U r k , (25)

Пример – в задаче 60.

Метод замены параллельно соединенных генераторов тока одним эквивалентным

Если несколько генераторов тока с токами Ik1, Ik2, …, Ikn и внутренними проводимостями g1, g2, …, gn соединены параллельно (рис. 7, а) и работают на общий приемник энергии с проводимостью g то они могут быть заменены одним эквивалентным генератором тока (рис. 7, б), ток которого Ik равен алгебраической сумме токов, а его внутренняя проводимость равна сумме внутренних проводимостей отдельных генераторов

I k = I k 1 + I k 2 − I k 3 + … = ∑ m = 1 n I k m , (26)

g э = g 1 + g 2 + g 3 + … = ∑ m = 1 n g m . (27)

5. Принцип взаимности

Принцип взаимности гласит: если э.д.с. E, находящаяся в ветви ab сколь угодно сложной цепи, вызывает ток в другой ветви cd этой же цепи, то при переносе этой э.д.с. в ветвь cd она вызовет в ветви ab такой же ток I.

6. Принцип компенсации

Принцип компенсации: любое сопротивление в электрической цепи может без изменения распределения токов в ее ветвях быть заменено э.д.с., численно равной падению напряжения в заменяемом сопротивлении и направленной навстречу току.

7. Входное сопротивление цепи относительно ветви

Входное сопротивление цепи относительно ветви k определяется как отношение э.д.с. Ek, действующей в этой ветви, к току Ik в этой же ветви при э.д.с. в остальных ветвях равных нулю

r k k = E k I k . (28)

Входная проводимость ветви k – величина обратная входному сопротивлению этой ветви

g k k = 1 r k k . (29)

Взаимное сопротивление (передаточное сопротивление) ветвей k и l – отношение э.д.с. Ek, действующей в ветви k, к току Il, проходящему по ветви l при э.д.с. в остальных ветвях равных нулю

r k l = E k I l . (30)

Взаимная проводимость ветвей k и l – величина обратная взаимному сопротивлению тех же ветвей

g k l = 1 r k l . (31)

Пример. Для схемы рис. 8 входные сопротивления цепи относительно ветвей 1, 2 и 3 соответственно равны

r 11 = D r 2 + r 3 , r 22 = D r 1 + r 3 , r 33 = D r 1 + r 2 ,

а взаимные сопротивления ветвей 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1 соответственно равны

r 12 = r 21 = D r 3 , r 23 = r 32 = D r 1 , r 13 = r 31 = D r 2 ,

Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей, развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей, расходуемых в приемниках энергии

где ΣEI – алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых направления действия э.д.с. E и соответствующего тока I совпадают, в противном случае слагаемое отрицательно (при выборе положительных направлений токов в ветвях с э.д.с. выбираем направление тока совпадающим с действием соответствующей э.д.с.); ΣI 2 r – арифметическая сумма; здесь должны быть учтены как внешние сопротивления, так и сопротивления самих источников энергии.

Упражнения и задачи

Задача 1 . Для цепи (рис. 9) найти эквивалентные сопротивления между зажимами a и b, c и d, d и f, если r1 = 6 Ом, r2 = 5 Ом. r3 = 15 Ом, r4 = 30 Ом, r5 = 6 Ом.

Расчет сопротивления rab.

Эквивалентное сопротивление соединенных параллельно сопротивлений r4 и r5 найдем по формуле (14)

r 45 = r 4 ⋅ r 5 r 4 + r 5 = 30 ⋅ 6 30 + 6 = 5 О м ;

оно соединено последовательно с r2; их общее сопротивление

Сопротивление цепи состоит из сопротивления r1, последовательно с которым соединены два параллельных сопротивления r’ и r3

r a b = r 1 + r ′ ⋅ r 3 r ′ + r 3 = 6 + 10 ⋅ 15 10 + 15 = 12 О м .

Расчет сопротивления rcd.

Сопротивления r4 и r5 теперь соединены параллельно друг другу; сопротивление r3 к ним включено последовательно

r ″ = r 3 + r 4 ⋅ r 5 r 4 + r 5 = 15 + 30 ⋅ 6 30 + 6 = 20 О м .

Сопротивление rcd состоит из двух параллельно соединенных сопротивлений r2 и и равно

r c d = r 2 ⋅ r ″ r 2 + r ″ = 5 ⋅ 20 5 + 20 = 4 О м .

Расчет сопротивления rdf.

Эквивалентное сопротивление цепи между точками d и f состоит из трех параллельно соединенных сопротивлений: r5, r4 и r2 + r3 и может быть определено по формуле (13)

1 r d f = 1 r 5 + 1 r 4 + 1 r 2 + r 3 = 1 6 + 1 30 + 1 20 = 1 4 ,

Задача 2 . Для цепи (рис. 10) начертить кривую зависимости эквивалентного сопротивления между точками a и b как функцию от k (0 ≤ k ≤ 10).

Задача 3 . Цепь, схема которой изображена на рис. 11, а, состоит из пяти одинаковых сопротивлений r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = 10 кОм.

Чему равно сопротивление цепи между зажимами a и b при разомкнутом и замкнутом ключе К?

Сопротивления r3, r4 и r5 соединены между собой последовательно; заменяющее их эквивалентное сопротивление является параллельным к сопротивлению r1; величина сопротивления, заменяющего r3, r4, r5 и r1, равна

r ′ = r 1 ⋅ ( r 3 + r 4 + r 5 ) r 1 + ( r 3 + r 4 + r 5 ) = 10 ⋅ 30 40 = 7,5 к О м .

Искомое сопротивление цепи

В этом случае сопротивления r1 и r3 соединены параллельно друг другу, а сопротивления r4 и r5 закорочены (рис. 11, б). Искомое сопротивление цепи будет

r a b = r 1 ⋅ r 3 r 1 + r 3 + r 2 = 10 ⋅ 10 20 + 10 = 15 к О м .

Задача 4 . Вычислить эквивалентное сопротивление цепи (рис. 12) между зажимами a и b, если все семь ее сопротивлений одинаковы:

Указание. Обратить внимание на закорачивающие проводники mn и np.

Задача 5 . Определить эквивалентное сопротивление цепи между точками a и b при разомкнутом и замкнутом ключе К (рис. 13, а): r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = r7 = 10 Ом.

При разомкнутом ключе заданная схема может быть изображена согласно рис. 13, б.

r a b = r 1 ⋅ r 3 r 1 + r 3 = ( r 5 + r 6 + r 4 ⋅ r 7 r 4 + r 7 ) ⋅ r 2 r 5 + r 6 + r 4 ⋅ r 7 r 4 + r 7 + r 2 = 5 + 25 ⋅ 10 35 = 12,1 О м .

При замкнутом ключе заданная схема имеет вид, изображенный на рис. 13, в.

Сопротивление цепи равно сумме двух сопротивлений

r ′ = r 1 ⋅ r 3 r 1 + r 3 10 ⋅ 10 20 = 5 О м ,

и , определяемого из формулы

1 r ″ = 1 r 4 + 1 r 7 + 1 r 2 ,

откуда r’ = 3,33 Ом. Таким образом,

r a b = r ′ + r ″ = 5 + 3,33 = 8,33 О м .

Задача 6 . Найти эквивалентное сопротивление между зажимами a и b для схемы рис. 14. Даны: r1 = 600 Ом, r2 = 360 Ом, r3 = 400 Ом, r4 = 300 Ом.

Задача 7 . Определить сопротивление каждой из цепей (рис. 15, а и б) между зажимами 1–1′ при холостом ходе (точки 2 и 2′ разомкнуты) и при коротком замыкании (точки 2 и 2′ закорочены). Сопротивления в омах даны на схеме.

Задача 8 . Вычислить сопротивление между зажимами a и b для схемы рис. 16 при разомкнутом и замкнутом ключе К. Все семь сопротивлений одинаковы и каждое равно r = 30 Ом.

Смотрите так же:  Ток в 220 вольт параметры

Указание. Учесть, что точки c и d равнопотенциальны.

Ответ: При разомкнутом ключе rab = 40 Ом; при замкнутом – rab = 30 Ом.

Задача 9 . Найти сопротивление между зажимами a и b для схемы рис. 17, а. Значения сопротивлений в омах даны на схеме.

От данной схемы можно перейти к более простым схемам, изображенным на рис. 17, б и в. Искомое сопротивление

r a b = 240 ⋅ ( 180 + 300 ⋅ 450 750 ) 240 + 180 + 300 ⋅ 450 750 = 144 О м .

Задача 10 . Имеется вольтметр, который может быть включен па три предела измерения: 3; 15 и 150 В (рис. 18). Максимально допустимый ток в измерительном механизме 30 мА.

Полагаем внутреннее сопротивление измерительного механизма (ИМ) равным нулю.

На пределе измерения 3 В: ток 30 мА, сопротивление r1 = 3/0,030 = 100 Ом.

На пределе измерения 15 В: ток 30 мА, сопротивление r1 + r2 = 15/0,030 = 500 Ом, а сопротивление r2 = 500 – 100 = 400 Ом.

Аналогично находится r3 = 4500 Ом.

Задача 11 . Два вольтметра, пределы измерения которых равны 150 и 100 В и внутренние сопротивления – 15000 и 7500 Ом, соединенные последовательно друг с другом и с добавочным сопротивлением 2500 Ом, подключены к сети 220 В. Чему равно показание каждого вольтметра?

Ответ: 132 и 66 В.

Задача 12 . Батарея, э.д.с. которой E = 6,4 В и внутреннее сопротивление r = 0,1 Ом, присоединена к сопротивлению r = 3,1 Ом. Найти ток батареи и напряжение на ее зажимах.

Применяя формулу закона Ома для замкнутой цепи (формула 4), находим ток

I = E r + r 0 = 6,1 3,1 + 0,1 = 2 А .

Напряжение на зажимах батареи может быть найдено двумя путями: или

Задача 13 . Напряжение холостого хода батареи равно 16,4 В. Чему равно внутреннее сопротивление батареи, если при токе во внешней цепи, равном 8 А, напряжение на ее зажимах равно 15,2 В?

Задача 14 . Источник с э.д.с. E = 100 В, внутренним сопротивлением r = 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление r, которое меняется от нуля до бесконечности (рис. 19, а). Определить в функции этого сопротивления: 1) ток I; 2) напряжение на зажимах источника U; 3) мощность, отдаваемую источником во внешнюю цепь Pвнеш; 4) мощность, затрачиваемую в самом источнике Pвнутр; 5) общую мощность Pобщ; 6) коэффициент полезного действия η. При каком внешнем сопротивлении Pвнеш будет максимальным? Чему оно равно?

Написать уравнения и построить кривые зависимостей U, Pвнеш, Pвнутр, Pобщ и η в функции тока I.

Определим r, при котором Pвнеш будет максимально. Для этого вычислим производную от Pвнеш по r и приравняем ее нулю

d P в н е ш d r = E 2 d d r r ( r + r 0 ) 2 = E 2 d d r r ⋅ ( r + r 0 ) 2 − r ⋅ d d r ( r + r 0 ) 2 ( r + r 0 ) 4 = = E 2 ( r + r 0 ) 2 − r ⋅ 2 ( r + r 0 ) ( r + r 0 ) 4 = E 2 r 0 − r ( r + r 0 ) 3 = 0.

Взяв вторую производную, можно убедиться, что она отрицательна. Это соответствует условию максимума.

Отсюда найдем, что r = r, т.е. при внешнем сопротивлении равном внутреннему сопротивлению, мощность, поступающая во внешнюю цепь, будет максимальна. При этом, по уравнению (6), коэффициент полезного действия равен 0,5. Величина максимальной мощности, поступающей во внешнюю цепь при r = r, по уравнению (3) равна

P в н е ш . м а к с = [ E 2 ⋅ r ( r + r 0 ) 2 ] r = r 0 = E 2 4 r = 2500 В т .

По написанным выше уравнениям на рис. 19, б построены кривые.

Искомые уравнения зависимостей в функции тока имеют вид

U = E − I ⋅ r 0 ; P в н е ш = E ⋅ I − I 2 ⋅ r 0 ; P в н у т р = I 2 ⋅ r 0 ; P о б щ = E ⋅ I ; η = 1 − I ⋅ r 0 E .

По этим уравнениям на рис. 19, в построены кривые.

Задача 15 . В схеме (рис. 20) э.д.с. E1 = 120 В, E2 = 40 В, а сопротивления r1 = 12 Ом, r2 = 8 Ом. Внутренние сопротивления источников энергии равны нулю. Определить напряжение между точками a и b.

Задавшись положительным направлением тока по часовой стрелке, на основании закона Ома (формула 4) имеем

I = E 1 − E 2 r 1 + r 2 = 120 − 40 12 + 8 = 4 А .

Так как результат оказался положительным, то, следовательно, фактическое направление тока совпадает с выбранным. Напряжение между точками a и b можно найти по закону Ома (формула 5), примененному к участку amb

I = U a b − E 2 r 2 ,

U a b = E 2 + I ⋅ r 2 = 40 + 4 ⋅ 8 = 72 В .

Такой же результат можно получить, если применить ту же формулу к участку bna

I = U b a + E 1 r 1 ,

U b a = I ⋅ r 1 − E 1 = 4 ⋅ 12 − 120 = − 72 В ,

а, следовательно, Uab = 72 В.

Замечание. Следует запомнить, что если на участке цепи, содержащем э.д.с. и сопротивление, ток и э.д.с. совпадают по направлению, то напряжение на зажимах участка меньше э.д.с. на величину падения напряжения в сопротивлении участка, а если направление тока противоположно направлению э.д.с., то напряжение на зажимах участка больше э.д.с. на величину падения напряжения в рассматриваемом участке.

Задача 16 . Определить показание вольтметра (рис. 21), сопротивление которого весьма велико по сравнению с r1 и r2.

Для обоих случаев даны: E1 = 40 В, E2 = 10 В, r1 = r2 = 5 Ом. Внутренними сопротивлениями источников энергии пренебречь.

Задача 17 . Построить график изменения потенциала вдоль цепи, изображенной на рис. 22, а, при замкнутом ключе и при разомкнутом ключе, предполагая в обоих случаях, что точка a заземлена (φa = 0).

В схеме найти точку, равнопотенцнальную точке a. Определить, потенциал какой точки следует принять равным нулю, чтобы потенциалы всех остальных точек были положительны (при замкнутом ключе).

Внешние сопротивления имеют следующие значения: r1 = 8 Ом, r2 = 24 Ом, r3 = 40 Ом, r4 = 4 Ом. Внутренние сопротивления источников электрической энергии равны: r10 = 2 Ом, r20 = 6 Ом, r30 = 2 Ом, r40 = 4 Ом.

Ключ замкнут. Задавшись положительным направлением тока по часовой стрелке, на основании закона Ома (формула 4) найдем ток

I = E 1 + E 2 − E 3 + E 4 r 1 + r 10 + r 2 + r 20 + r 3 + r 30 + r 4 + r 40 = 45 90 = 0,5 А .

Пользуясь формулами (3) и (5), вычислим потенциалы всех точек, обходя контур тока по часовой стрелке

φ a = 0 ; φ b = φ a − I ⋅ r 1 = 0 − 0,5 ⋅ 8 = − 4 B ; φ c = φ b + E 1 − I ⋅ r 10 = ( − 4 ) + 25 − 0,5 ⋅ 2 = 20 B ; φ d = φ c − I ⋅ r 2 = 20 − 0,5 ⋅ 24 = 8 B ; φ f = φ d + E 2 − I ⋅ r 20 = 8 + 5 − 0,5 ⋅ 6 = 10 B ; φ g = φ f − I ⋅ r 3 = 10 − 0,5 ⋅ 40 = − 10 B ; φ h = φ g − E 3 − I ⋅ r 30 = ( − 10 ) − 20 − 0,5 ⋅ 2 = − 31 B ; φ k = φ h − I ⋅ r 4 = ( − 31 ) − 0,5 ⋅ 4 = − 33 B ; φ a = φ k + E 4 − I ⋅ r 40 = ( − 33 ) + 35 − 0,5 ⋅ 4 = 0.

На рис. 22, б начерчен потенциальный график. По оси абсцисс отложены величины сопротивлений отдельных участков цепи, а по оси ординат – значения потенциалов в отдельных точках цепи.

Найдем точку, равнопотенциальную точке a. Из графика видно, что искомая точка m находится на участке сопротивления fg, так как в этой точке прямая падения потенциалов пересекает ось абсцисс, потенциал которой равен φa = 0. Обозначая участок сопротивления между точками f и m через rfm и применяя к участку abcdfm формулу закона Ома (5) и учитывая, что φa = φm, найдем

I = φ a − φ m + E 1 + E 2 r 1 + r 10 + r 2 + r 20 + r f m ,

0,5 = 30 40 + r f m ,

откуда rfm = 20 Ом, т.е. точка m находится на середине сопротивления r3.

Для нахождения точки, потенциал которой следует принять равным нулю при условии, чтобы потенциалы всех остальных точек были положительны, следует обратиться к потенциальному графику, из которого видно, что такой точкой является точка k.

Ключ разомкнут. Тока в цепи нет, поэтому точки a и b равнопотенциальны, т. е. φa = φb = 0. Потенциал точки c превышает потенциал точки b на величину э.д.с. E1 и φc = E1 = 25 В; рассуждая аналогично, найдем

φ d = φ c = 25 B ; φ f = φ d + E 2 = 25 + 5 = 30 B ; φ g = φ f = 30 B ; φ h = φ g − E 3 = 30 − 20 = 10 B ; φ k = φ h = 10 B ; φ l = φ k + E 4 = 10 + 35 = 45 B .

На основе полученных результатов на рис. 22, б начерчен график изменения потенциала при разомкнутом ключе.

Задача 18 . Для схемы рис. 23 построить потенциальные графики abcdfghkl при разомкнутом и замкнутом ключе, если E1 = 60 В, E2 = 40 В, E3 = 25 В, E4 = 15 В, r10 = 6 Ом, r20 = 4 Ом, r30 = 3 Ом, r40 = 2 Ом, r1 = 24 Ом, r2 = 16 Ом, r3 = 25 Ом, r4 = 22 Ом, r5 = 18 Ом.

Задача 19 . Определить токи в ветвях цепи (рис. 24, а) и напряжение между точками c и d и показание амперметра, включенного между точками c и d. Сопротивление амперметра считать равным нулю. Сопротивления элементов цепи r1 = 10 Ом, r2 = r3 = r5 = 25 Ом, r4 = 50 Ом, а приложенное к ней напряжение U = 120 В.

r = r 1 + ( r 2 + r 4 ) ⋅ ( r 3 + r 5 ) ( r 2 + r 4 ) + ( r 3 + r 5 ) = 10 + 75 ⋅ 50 125 = 40 О м .

В неразветвленной части цепи протекает ток

I = U r = 120 40 = 30 А .

Токи, протекающие через сопротивления r2 + r4 и r3 + r5, можно найти различными способами.

1) В параллельных ветвях токи распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям (формулы 9)

I 2 = I 1 ⋅ ( r 3 + r 5 ) ( r 2 + r 4 ) + ( r 3 + r 5 ) = 3 ⋅ 50 125 = 1,2 А , I 3 = I 1 ⋅ ( r 2 + r 4 ) ( r 2 + r 4 ) + ( r 3 + r 5 ) = 3 ⋅ 75 125 = 1,8 А .

2) Найдем напряжение на зажимах параллельных ветвей

U a b = I 1 ⋅ ( r 2 + r 4 ) ⋅ ( r 3 + r 5 ) ( r 2 + r 4 ) + ( r 3 + r 5 ) = 3 ⋅ 75 ⋅ 50 125 = 90 В .

I 2 = U a b r 2 + r 4 = 90 75 = 1,2 А , I 3 = U a b r 3 + r 5 = 90 50 = 1,8 А .

Напряжение на зажимах параллельных ветвей может быть найдена как разность между приложенным напряжением и падением напряжения на сопротивлении r1

U a b = U − I 1 ⋅ r 1 = 120 − 3 ⋅ 10 = 90 В .

Найдем напряжение между точками c и d

U c d = − I 2 ⋅ r 2 + I 3 ⋅ r 3 = − 1,2 ⋅ 25 + 1,8 ⋅ 25 = 15 В .

Наконец, вычислим ток, проходящий через амперметр, он равен току короткого замыкания I’cd (рис. 24, б). Для его нахождения вычислим токи

I ′ 1 = U r 1 + r 2 ⋅ r 3 r 2 + r 3 + r 4 ⋅ r 5 r 4 + r 5 = 144 47 А , I ′ 2 = I ′ 1 ⋅ r 3 r 2 + r 3 = 144 47 ⋅ 1 2 = 72 47 А , I ′ 4 = I ′ 1 ⋅ r 5 r 4 + r 5 = 144 47 ⋅ 25 75 = 48 47 А .

Искомый ток, проходящий через амперметр, равен

I A = I ′ c d = I ′ 2 − I ′ 4 = 72 47 − 48 47 = 24 47 = 0.51 А .

Задача 20 . Для измерения тока применены амперметры, пределы измерений которых равны 5 и 2,5 А, и шунт, сопротивление которого неизвестно. Первый амперметр, включенный с шунтом в некоторую цепь, показал 3,6 А, второй – с тем же шунтом показал в той же цепи ток 2 А. Сопротивления амперметров r1 = 0,002 Ом и r2 = 0,004 Ом. Чему равен ток в цепи?

Задача 21 . Для цепи рис. 25 определить отношение напряжения на выходе U2 к напряжению на входе цепи U1. Сопротивления отдельных ветвей цепи в омах указаны на схеме.

Задача 22 . В схеме (рис. 26) найти сопротивление rx, если I1 = 2,6 А, I3 = 0,6 А, r1 = 0,5 Ом, r2 =1,4 Ом, r3 = 3 Ом, r4 = 2,5 Ом. Найти э.д.с. батареи E, если ее внутреннее сопротивление r = 0,1 Ом.

На основании первого закона Кирхгофа найдем

По закону Ома, примененному к участку, содержащему сопротивление r2, найдем

Применяя закон Ома к участку цепи ab, содержащему э.д.с. E и сопротивления r1 и r, найдем искомую э.д.с.

Теперь найдем напряжение на параллельных ветвях с сопротивлениями r4 и rx и токи в них

Задача 23 . В схеме мостика (рис. 27) известны сопротивления r1 = 1300 Ом, r2 = 800 Ом, r3 = 400 Ом. Сопротивление гальванометра rг = 600 Ом. Через, сопротивление r1 протекает ток I1 = 1 мА. К мостику приложено напряжение U = 2,5 В.

Задача 24 . В цепи (рис. 28) найти E1 и rx, если E2 = 3 В, r1 = r2 = 1 кОм, r3 = 4 кОм, r4 = 2 кОм, r5 = 1 кОм. Внутренние сопротивления батарей принять равными нулю.

Амперметр А1 показывает 4 мА, а А4 — 3 мА; полярности приборов показаны на схеме, а их сопротивлениями можно пренебречь.

Задача 25 . Однопроводная линия с сопротивлением r на единицу длины, питаемая батареей с э.д.с., равной E, закорочена на приемном конце (рис. 29).

В каком месте линия должна иметь утечку с сопротивлением r, чтобы ток I на приемном конце был минимальным?

Ответ: по середине линии.

Задача 26 . Для определения места повреждения изоляции линии применяется схема, изображенная на рис. 30, а; r1 и r2 – магазины сопротивлений.

Правый зажим гальванометра заземлен. Свободные концы тип линии соединены между собой накоротко. Подбором сопротивлений r1 и r2 добиваются отсутствия тока в гальванометре.

Показать, что если сечения обоих проводов одинаковы, то расстояние от места повреждения изоляции a до начала линии равно

2 l ⋅ r 2 r 1 + r 2 .

Указание. Заданная схема может быть заменена схемой рис. 30, б.

Задача 27 . При проверке постоянной C счетчика оказалось, что при силе тока 10 А и напряжении 120 В якорь его в продолжение 30 сек сделал 37 оборотов. Определить ошибку в показаниях счетчика, если на счетчике указано, что 1 ГВт·ч соответствует 400 оборотам счетчика.

Примечание. Постоянной счетчика называется число ватт-часов, приходящихся на один оборот счетчика.

Задача 28 . Каково должно быть сечение медных проводов линии для передачи потребителю мощности P = 16 кВт при условии, что потеря мощности не превысит p = 5%, если длина линии l = 180 м и напряжение в конце линии равно U = 220 В?

Ответ: точное значение 41,8 мм 2 , по ГОСТ надо взять 50 мм 2 .

Задача 29 . Для схемы (рис. 31), пользуясь законами Кирхгофа, найти токи и проверить баланс мощностей, если E1 = 15 В, E2 = 70 В, E3 = 5 В, r10 = r20 = 1 Ом, r30 = 2 Ом, r1 = 5 Ом, r1 = 5 Ом, r2 = 4 Ом, r3 = 8 Ом, r4 = 2,5 Ом, r5 = 15 Ом.

Всего узлов в схеме три (a, b, c), следовательно, число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, будет на единицу меньше, т.е. два. Число контуров равно трем, следовательно, по второму закону Кирхгофа можно составить три взаимно независимых уравнения. Таким образом, общее число независимых уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов в пяти ветвях схемы.

Выберем положительные направления для токов, которые обозначены пунктирными стрелками, и составим систему уравнений Кирхгофа:

для контура abfa

для контура abca

для контура adca

Уравнения (1) – (5) после подстановки в них числовых значений будут иметь следующий вид

Решая эту систему уравнений, получим

Отрицательный знак для тока I4 означает, что истинное направление этого тока противоположно принятому. При проверке баланса мощностей надо иметь в виду, что в тех ветвях цепи, где истинное направление тока совпадает с направлением э.д.с., соответствующая э.д.с. будет являться источником энергии, а в тех участках, где направления э.д.с. и тока противоположны, э.д.с. будет являться потребителем энергии. Все сопротивления как внешние, так и самих источников, независимо от направления протекающего через них тока, будут являться потребителями энергии.

Баланс мощностей для рассматриваемой схемы будет

15·5 + 70·8 – 5·1 = 5 2 ·6 + 8 2 ·5 + 1 2 ·10 + 6 2 ·2,5 + 2 2 ·15,

получено тождество 630 Вт = 630 Вт.

Ответ: 2,5 А, 1,5 А, 1 А.

Задача 31 . Для цепи, изображенной на рис. 33, рассчитать токи и определить показание вольтметра, если E1 = 40 В, E2 = 5 В, E3 = 25 В, r1 = 5 Ом, r2 = r3 = 10 Ом.

Внутренними сопротивлениями источников энергии и током, протекающим через вольтметр, можно пренебречь.

Задача 32 . Аккумуляторная батарея из 20 последовательно соединенных элементов работает параллельно с генератором на сеть, имеющую нагрузку 30 А. Каждый аккумулятор имеет э.д.с. 1,82 В и сопротивление 0,001 Ом. Э.д.с. генератора 36,4 В и его сопротивление 0,04 Ом. Определить нагрузку генератора и батареи (т. е. отдаваемые ими токи) и напряжение на их зажимах.

Какую э.д.с. должен развивать генератор, чтобы нагрузка распределилась поровну между генератором и батареей?

Ответ: 20 А, 10 А, 36 В, 36,7 В.

Задача 33 . По трехпроводной линии длиной 0,5 км (рис. 34) от двух генераторов 1 и 2 питаются две группы ламп 50 Вт, 110 В.

В первой группе – N1 = 200 ламп, а во второй – N2 = 600 ламп. Сечение крайних проводов q = 35 мм 2 , а сечение среднего (нулевого) провода q = 16 мм 2 . Каждый генератор имеет внутреннее сопротивление 0,01 Ом и развивает э.д.с. 120 В. Определить токи во всех проводах линии и напряжение на зажимах каждой группы ламп, сопротивления которых считать постоянным. Материал проводов линии – медь.

Задача 34 . Напряжения, измеренные электростатическим вольтметром, между узловыми точками схемы и землей, равны: U10 = –15 В, U20 = 52 В, U30 = 64 В (рис. 35).

Определить токи в ветвях и отходящих проводах при следующих данных: E1 = 80 В, E3 = 70 В, r1 = 5 Ом, r2 = 10 Ом, r3 = 12 Ом.

Вычислим напряжения между точками 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1

Применяя к ветвям 1–2, 2–3, 3–1 закон Ома, найдем токи

I 1 = U 12 + E 1 r 1 = ( − 67 ) + 80 5 = 2,6 А , I 2 = U 32 r 2 = 12 10 = 1,2 А , I 3 = U 31 − E 3 r 3 = 79 − 70 12 = 0,75 А .

Так как все токи оказались положительными, то они имеют направления в соответствии с только что записанными уравнениями и нанесены на рис. 35.

Токи в ответвлениях от узловых точек 1–p, 2–q, 3–s находим по первому закону Кирхгофа

Задача 35 . В цепи (рис. 36) известны э.д.с. E1 = 120 В, E2 = 40 В, E3 = 70 В и сопротивления r1 = 20 Ом, r2 = 10 Ом, r3 = 40 Ом.

Потенциалы точек a, b и c относительно земли соответственно равны (определены посредством вольтметра): Ua =160 В, Ub = 180 В, Uc = 50 В. Определить токи в ветвях ab, bc, ca и в проводах aa’, bb’ и cc’, подходящих к точкам a, b и c.

Задача 36 . В цепи (рис. 37) известны э.д.с. E1 = 40 В, E2 = 30 В.

Сопротивления элементов схемы r1 = 8 Ом, r2 = 5 Ом, r3 = 10 Ом. Показания вольтметров соответственно равны: U1 = 125 В, U2 = 60 В; полярность зажимов вольтметров показана на схеме. Пренебрегая внутренними сопротивлениями источников электрической энергии и считая потребляемые вольтметрами токи приближенно равными нулю, определить величину и полярность э.д.с. E3. Найти все токи.

Задача 37 . В цепи, изображенной на рис. 38, найти токи и показания вольтметров, включенных между точками и c, c и g, если известно, что E1 = 32 В, E2 = 64 В, E3 = 72 В, r1 = 9 Ом, r10 = 1 Ом, r2 = 5 Ом, r20 = 1 Ом, r3 = 2 Ом, r30 = 1 Ом, r4 = 2 Ом, r5 = 1 Ом. Сопротивления вольтметров весьма велики по сравнению с сопротивлениями элементов цепи.

Задача 38 . Для схемы (рис. 39, а) найти токи и проверить баланс мощностей, если Uab = 12 В, Ucd = 5,6 В, r1 = 4 Ом, r2 = 5 Ом, r3 = 3 Ом.

Данная схема может быть заменена эквивалентной, в которой между точками a и b, а также c и d включены э.д.с., численное значение которых E1 = Uab и E2 = Ucd, а их внутренние сопротивления равны нулю (рис. 39, б). Обращаем внимание на то, что при включении э.д.с. следует соблюдать заданные полярности напряжений.

Задавшись направлениями для токов, составим систему уравнений Кирхгофа

Подставляя сюда числовые значения и решая систему уравнений, найдем:

Для проверки баланса мощностей составим уравнение

12·2,4 + 5,6·1,6 = 2,4 2 ·4 + 1,6 2 ·5 + 0,8 2 ·3;

получено тождество 37,76 = 37,76.

Задача 39 . В цепи (рис. 40) найти токи и проверить баланс мощностей, если Uab = 16 В, Ucd = 11,2 В, E = 5 В, r = 0, r = 10 Ом, r1 = 5 Ом, r2 = 4 Ом.

Задача 40 . Чему равно показание вольтметра на рис. 41, если током вольтметра можно пренебречь по сравнению с токами в нагрузках? Внутренние сопротивления батарей принять равными нулю.

Смотрите так же:  Прокладка провода в бетонной стене

Определить показания ваттметров и убедиться в том, что их сумма равна сумме мощностей, расходуемых в сопротивлениях r1, r2 и r3. Потерями в катушках ваттметров пренебречь.

Выберем направления контурных токов, которые обозначим через I11, I22, I33.

Составим систему уравнений для контуров

После подстановки числовых значений будем иметь

Решив эту систему уравнений, найдем контурные токи

Теперь найдем истинные токи во всех ветвях.

В ветви, где действует э.д.с. E1, истинный ток I1 имеет направление контурного тока I11 и равен

В ветви с сопротивлением r5 истинный ток I5 имеет направление контурного тока I22 и равен

В ветви с сопротивлением r6 истинный ток I6 имеет направление, противоположное контурному току I33, и равен

В ветви с сопротивлением r2 истинный ток I2 получится от наложения контурных токов I11 и I22 и будет иметь направление большего контурного тока I11;

В ветви с сопротивлением r4 истинный ток I4 получится от наложения контурных токов I22 и I33 и будет иметь направление контурного тока I22;

В ветви, где действует э.д.с. E3, истинный ток I3 получится от наложения контурных токов I11 и I33 и будет иметь направление тока I11;

Эта же задача может быть решена методом определителей. Для этого уравнения для контурных токов следует записать в форме (10), а именно

где контурные сопротивления

взаимные сопротивления контуров

Получим численную систему уравнений метода контурных токов

или в матричной форме записи

( 20 − 10 0 − 10 22 7 0 7 22 ) ⋅ ( I 11 I 22 I 33 ) = ( 60 24 − 16 ) .

Составим главный определитель системы? и вычислим его значение

Вычислим значения вспомогательных определителей

Δ 11 = | E 11 r 12 r 13 E 22 r 22 r 23 E 33 r 32 r 33 | = | 60 − 10 0 24 22 7 − 16 7 22 | = 32500 ; Δ 22 = | r 11 E 11 r 13 r 21 E 22 r 23 r 31 E 33 r 33 | = | 20 60 0 − 10 24 7 0 − 16 22 | = 26000 ; Δ 33 = | r 11 r 12 E 11 r 21 r 22 E 22 r 31 r 32 E 33 | = | 20 − 10 60 − 10 22 24 0 7 − 16 | = − 13000.

Искомые контурные токи определяем по формулам

I 11 = Δ 11 Δ = 32500 6500 = 5 А ; I 22 = Δ 22 Δ = 26000 6500 = 4 А ; I 33 = Δ 33 Δ = − 13000 6500 = − 2 А .

Мы получили те же результаты, что и ранее.

Задача 42 . Найти все токи и определить потенциалы точек a, b, c и относительно земли (рис. 43).

Задачу решить методом контурных токов, Внутренние сопротивления источников электрической энергии считать равными нулю: E1 = 85 В, E2 = 84 В, E3 = 5 В, E4 = 12 В, r1 = 8 Ом, r2 = 10 Ом, r3 = 10 Ом, r4 = 10 Ом, r5 = 10 Ом, r6 = 4 Ом.

Задачу решить методом контурных токов. Внутренние сопротивления источников энергии равны нулю.

Задача 44 . Для схемы, изображенной на рисунке 45, а, пользуясь методом узловых потенциалов, определить все токи. Данные схемы: E1 = 30 В, E2 = 10 В, E3 = 200 В, E4 = 56 В, r1 = 20 Ом, r2 = 30 Ом, r3 = 6 Ом, r4 = 8 Ом, r5 = 15 Ом, r6 = 40 Ом, r7 = 10 Ом. Внутренние сопротивления источников напряжения равны нулю.

Примем потенциал точки 3 равным нулю. Тогда, на основании формулы (11), запишем систему уравнений для определения потенциалов точек 1 и 2

φ 1 ⋅ g 11 + φ 2 ⋅ g 12 = ∑ 1 E ⋅ g , ( 1 ) φ 1 ⋅ g 21 + φ 2 ⋅ g 22 = ∑ 2 E ⋅ g . ( 2 )

Подсчитаем g11 – сумму проводимостей, присоединенных к узлу 1

g 11 = 1 r 1 + r 7 + 1 r 5 + 1 r 4 + 1 r 6 = 1 30 + 1 15 + 1 8 + 1 40 = 0,25 1 О м .

Аналогично g22 – сумма проводимостей, присоединенных к узлу 2

g 22 = 1 r 1 + r 7 + 1 r 5 + 1 r 2 + 1 r 3 = 1 30 + 1 15 + 1 30 + 1 6 = 0,3 1 О м .

Взаимные проводимости первого и второго узлов

g 12 = g 21 = − ( 1 r 1 + r 7 + 1 r 5 ) = − 1 30 − 1 15 = − 0,1 1 О м .

Подставим в уравнения (1) и (2) числовые значения

0,25 ⋅ φ 1 + ( − 0,1 ) ⋅ φ 2 = 30 ⋅ 1 30 − 56 ⋅ 1 8 = − 6, ( − 0,1 ) ⋅ φ 1 + 0,3 ⋅ φ 2 = − 30 ⋅ 1 30 + 10 ⋅ 1 30 − 200 ⋅ 1 6 = − 34.

Решив последние два уравнения, найдем потенциалы точек 1 и 2

Наконец, применяя закон Ома для отдельных ветвей, определим искомые токи

I 1 = φ 1 − φ 2 − E 1 r 1 = ( − 80 ) − ( − 140 ) − 30 30 = 1 А ; I 2 = φ 3 − φ 2 + E 2 r 2 = 0 − ( − 140 ) + 10 30 = 5 А ; I 3 = φ 2 − φ 3 + E 3 r 3 = ( − 140 ) − 0 + 200 6 = 5 А ; I 4 = φ 3 − φ 1 − E 4 r 4 = 0 − ( − 80 ) − 56 8 = 3 А ; I 5 = φ 1 − φ 2 r 5 = ( − 80 ) − ( − 140 ) 15 = 4 А .

Направления найденных токов указаны на скелетной схеме (рис. 45, б).

Рекомендуем читателю решить ту же задачу, приняв за нуль потенциал узловой точки 1.

Задача 45 . Методом узловых потенциалов определить токи во всех ветвях схемы, изображенной на рис. 46, а; заданы: E1 = 20 В, E2 = 30 В, E3 = 2 В, E4 = 1,2 В, E5 = 5,6 В, r2 = 50 Ом, r3 = 10 Ом, r4 = 20 Ом, r5 = 10 Ом, r6 = 100 Ом, r7 = 50 Ом, r8 = 20 Ом.

Внутренние сопротивления источников напряжения считать равными нулю.

В тех случаях, когда в цепи имеется ветвь с э.д.с., но не содержащая сопротивления, целесообразно принять равным нулю потенциал одной из узловых точек, к которой подходит указанная ветвь.

В нашем случае примем потенциал узла 3 равным нулю (φ3 = 0). Тогда потенциал точки 1 имеет значение, равное E1, т.е. φ1 = 20 В. Общее число уравнений уменьшается и равняется числу узлов минус два. В нашей задаче достаточно составить всего два уравнения для узлов 2 и 4.

Определим сумму проводимостей, присоединенных к узлу 2

g 22 = 1 r 3 + 1 r 4 + 1 r 7 = 0,17 1 О м ,

и, соответственно, к узлу 4

g 44 = 1 r 4 + 1 r 5 + 1 r 8 = 0,2 1 О м .

Найдем взаимные проводимости узлов 2 и 1, 2 и 4, 4 и 1

g 12 = g 21 = − 1 r 7 = − 0,02 1 О м , g 24 = g 42 = − 1 r 4 = − 0,05 1 О м , g 14 = g 41 = − 1 r 8 = − 0,05 1 О м .

Вычислим суммы произведений э.д,с. на проводимости, присоединенные соответственно к узлам 2 и 4

∑ 2 E ⋅ g = E 3 ⋅ g 3 − E 4 ⋅ g 4 = 0,14 В О м , ∑ 4 E ⋅ g = E 4 ⋅ g 4 + E 5 ⋅ g 5 = 0,62 В О м .

Составим систему уравнений на основании формул (11) для узла 2:

φ 1 ⋅ g 21 + φ 2 ⋅ g 22 + φ 4 ⋅ g 24 = ∑ 2 E ⋅ g ,

φ 1 ⋅ g 41 + φ 2 ⋅ g 42 + φ 4 ⋅ g 44 = ∑ 4 E ⋅ g .

Подставляя сюда числовые значения, получим

0,17 ⋅ φ 2 + ( − 0,05 ) ⋅ φ 4 = 0,54, ( − 0,05 ) ⋅ φ 2 + 0,2 ⋅ φ 4 = 1,62.

Решая эту систему уравнений, найдем

Наконец, применяя к отдельным ветвям формулы закона Ома, получим значения всех токов, которые нанесены на скелетной схеме (46, б)

Ток I1 определяется на основании первого закона Кирхгофа

Задача 46 . Методом узловых потенциалов рассчитать токи в цепи (рис. 47). Даны: E1 = 160 мВ, E2 = 300 мВ, r3 = r4 = 100 Ом, r5 = 150 Ом, r6 = 40 Ом. Внутренние сопротивления генераторов напряжения равны нулю.

Указание. Для решения задачи достаточно составить всего одно уравнение, так как в схеме имеется две ветви с э.д.с., но не содержащие сопротивления, а узлов в схеме четыре.

Сначала предполагаем, что действует только э.д.с. E1, а э.д.с. E2 и E3 считаем недействующими (рис. 48, б), тогда

I ′ 1 = E 1 r 1 Э ,

r 1 Э = r 1 + r 10 + ( r 2 + r 20 ) ⋅ ( r 3 + r 30 ) ( r 2 + r 20 ) + ( r 3 + r 30 ) = 35 + 5 ⋅ 10 15 = 115 3 О м .

I ′ 1 = E 1 r 1 Э = 10 115 / 3 = 6 23 А .

Токи в параллельных ветвях найдем согласно формуле (9)

I ′ 2 = I ′ 1 ⋅ ( r 3 + r 30 ) ( r 2 + r 20 ) + ( r 3 + r 30 ) = 6 23 ⋅ 10 15 = 4 23 А , I ′ 3 = I ′ 1 ⋅ ( r 2 + r 20 ) ( r 2 + r 20 ) + ( r 3 + r 30 ) = 6 23 ⋅ 5 15 = 2 23 А .

Теперь проведем расчет, предполагая, что действует э.д.с. E2, а э.д.с. E1 и E3 считаем недействующими (рис. 48, в)

I ″ 2 = E 2 r 2 Э ; r 2 Э = r 2 + r 20 + ( r 1 + r 10 ) ⋅ ( r 3 + r 30 ) ( r 1 + r 10 ) + ( r 3 + r 30 ) = 115 9 О м ; I ″ 2 = E 2 r 2 Э = 40 115 / 9 = 72 23 А ; I ″ 1 = I ″ 2 ⋅ ( r 3 + r 30 ) ( r 1 + r 10 ) + ( r 3 + r 30 ) = 72 23 ⋅ 10 45 = 16 23 А ; I ″ 3 = I ″ 2 ⋅ ( r 1 + r 10 ) ( r 1 + r 10 ) + ( r 3 + r 30 ) = 72 23 ⋅ 35 45 = 56 23 А .

Аналогично рассчитываем величины токов при действии только одной э.д.с. E3 (рис. 48, г)

I ? 3 = E 3 r 3 Э ; r 3 Э = r 3 + r 30 + ( r 1 + r 10 ) ⋅ ( r 2 + r 20 ) ( r 1 + r 10 ) + ( r 2 + r 20 ) = 115 8 О м ; I ? 3 = E 3 r 3 Э = 5 115 / 8 = 8 23 А ; I ? 1 = I ? 3 ⋅ ( r 2 + r 20 ) ( r 1 + r 10 ) + ( r 2 + r 20 ) = 8 23 ⋅ 5 40 = 1 23 А ; I ? 2 = I ? 3 ⋅ ( r 1 + r 10 ) ( r 1 + r 10 ) + ( r 2 + r 20 ) = 8 23 ⋅ 35 40 = 7 23 А .

Истинное значение тока в каждой ветви найдется как алгебраическая сумма токов, определяемых каждой э.д.с. в отдельности.

Ток в первой ветви

I 1 = I ′ 1 + I ″ 1 + I ? 1 = 6 23 + 16 23 + 1 23 = 1 А .

Ток во второй ветви

I 2 = I ′ 2 + I ″ 2 − I ? 2 = 4 23 + 72 23 − 7 23 = 3 А .

Ток в третьей ветви

I 3 = − I ′ 3 + I ″ 3 − I ? 3 = − 2 23 + 56 23 − 8 23 = 2 А .

Направления этих токов показаны на рис. 48, а.

Задача 48 . Найти токи в ветвях цепи, изображенной на рис. 49, если известны E1 = 125 мВ, E = 120 мВ, r1 = 40 Ом, r2 = 36 Ом, r3 = r4 = 60 Ом. Внутренними сопротивлениями источников пренебречь. Задачу решить методами наложения и контурных токов.

Задача 49 . В схеме (рис. 50, а) методом наложения найти все токи. Внутренние сопротивления источников э.д.с. принять равными нулю. Электродвижущие силы и сопротивления элементов цепи имеют следующие значения: E1 = 96 В, E2 = 75 В, r3 = 3 Ом, r4 = 15 Ом, r5 = 10 Ом, r6 = 6 Ом.

Положим, что действует только э.д.с. E1, а э.д.с. E2 не действует. В этом случае схема примет вид, изображенный на рис. 50, б. Так как внутреннее сопротивление э.д.с. E2 равно нулю, то на его месте между точками b и d показано короткое замыкание. Для большей наглядности схему рис. 50, б можно начертить в виде, показанном на рис. 50, в.

Полное сопротивление этой схемы равно

r 1 э к в = r 3 ⋅ r 6 r 3 + r 6 + r 4 ⋅ r 5 r 4 + r 5 = 3 ⋅ 6 9 + 15 ⋅ 10 25 = 8 О м .

Определим все токи

I ′ 1 = E 1 r 1 э к в = 96 8 = 12 А , I ′ 3 = I ′ 1 ⋅ r 6 r 3 + r 6 = 12 ⋅ 6 9 = 8 А ; I ′ 6 = I ′ 1 − I ′ 3 = 4 А ; I ′ 4 = I ′ 1 ⋅ r 5 r 4 + r 5 = 12 ⋅ 10 25 = 4,8 А ; I ′ 5 = I ′ 1 − I ′ 4 = 7,2 А ; I ′ 2 = I ′ 3 − I ′ 4 = 8 − 4,8 = 3,2 А и л и I ′ 2 = I ′ 5 − I ′ 6 = 3,2 А .

Теперь положим, что действует только э.д.с. E2, а э.д.с. E1 считаем недействующей (рис. 50, г).

Схему (рис. 50, г) для большей наглядности можно представить в виде, показанном на рис. 50, д. Ее полное сонротивление

r 2 э к в = r 3 ⋅ r 4 r 3 + r 4 + r 5 ⋅ r 6 r 5 + r 6 = 3 ⋅ 15 18 + 6 ⋅ 10 16 = 6,25 О м .

Вычислим все токи

I ″ 2 = E 2 r 2 э к в = 75 6,25 = 12 А , I ″ 3 = I ″ 2 ⋅ r 4 r 3 + r 4 = 12 ⋅ 15 18 = 10 А ; I ″ 4 = I ″ 2 − I ″ 3 = 2 А ; I ″ 6 = I ″ 2 ⋅ r 5 r 5 + r 6 = 12 ⋅ 10 16 = 7,5 А ; I ″ 5 = I ″ 2 − I ″ 6 = 4,5 А ; I ″ 1 = I ″ 3 − I ″ 6 = 10 − 7,5 = 2,5 А .

Складывая алгебраически токи, полученные от действия каждой э.д.с. в отдельности (рис. 50, б и 50, г), найдем истинные токи в каждой ветви (они нанесены на рис. 50, а)

I 1 = I ′ 1 + I ″ 1 = 12 + 2,5 = 14,5 А , I 2 = I ′ 2 + I ″ 2 = 3,2 + 12 = 15,2 А , I 3 = I ′ 3 + I ″ 3 = 8 + 10 = 18 А , I 4 = I ′ 4 − I ″ 4 = 4,8 − 2 = 2,8 А , I 5 = I ′ 5 + I ″ 5 = 7,2 + 4,5 = 11,7 А , I 6 = I ′ 6 − I ″ 6 = 7,5 − 4 = 3,5 А .

Задача 50 . Для схемы (рис. 51) методами наложения, контурных токов и при помощи законов Кирхгофа найти все токи. Внутренние сопротивления источников электрической энергии считать равными нулю.

Задача 51 . Найти эквивалентное сопротивление цепи (рис. 52, а) и все токи, если U = 114 В, r1 = 30 Ом, r2 = r3 = 10 Ом, r4 = 26 Ом, r5 = 11 Ом, r6 = 10 Ом, r7 = 40 Ом, r8 = 50 Ом. Задачу решить методом преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.

Заменим треугольники сопротивлений abc и dfg эквивалентными звездами (рис. 52, б).

Подсчитаем сопротивления лучей звезды r10, r20 и r30, эквивалентной треугольнику abc сопротивлений r1, r2 и r3 (формулы 17)

r 10 = r 1 ⋅ r 2 r 1 + r 2 + r 3 = 6 О м , r 20 = r 1 ⋅ r 3 r 1 + r 2 + r 3 = 6 О м , r 30 = r 2 ⋅ r 3 r 1 + r 2 + r 3 = 2 О м .

r 40 = r 6 ⋅ r 7 r 6 + r 7 + r 8 = 4 О м , r 50 = r 6 ⋅ r 8 r 6 + r 7 + r 8 = 5 О м , r 60 = r 7 ⋅ r 8 r 6 + r 7 + r 8 = 20 О м .

Эквивалентное сопротивление всей схемы

r Э = r 10 + r I ⋅ r I I r I + r I I + r 60 = 38 О м ,

r I = r 20 + r 4 + r 40 = 36 О м , r I I = r 3 + r 5 + r 50 = 18 О м .

Ток в неразветвленной части цепи

I = U r Э = 114 38 = 3 А .

I ′ = I ⋅ r I I r I + r I I = 3 ⋅ 18 36 + 18 = 1 А ; I ″ = I ⋅ r I r I + r I I = 3 ⋅ 36 36 + 18 = 2 А .

Теперь найдем токи в сопротивлениях заданной цепи. Для этого предварительно из схемы (рис. 52, б) найдем напряжения между точками a и b, a и c, b и c, d и g, f и g, d и f

U a b = I ⋅ r 10 + I ′ ⋅ r 20 = 3 ⋅ 6 + 1 ⋅ 6 = 24 В ; U a c = I ⋅ r 10 + I ″ ⋅ r 30 = 3 ⋅ 6 + 2 ⋅ 2 = 22 В ; U a b − U a c = ( φ a − φ b ) − ( φ a − φ c ) = φ c − φ b = U c b = 24 − 22 = 2 В ; U d g = I ′ ⋅ r 40 + I ⋅ r 60 = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ 20 = 64 В ; U f g = I ″ ⋅ r 50 + I ⋅ r 60 = 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 20 = 70 В ; U f g − U d g = ( φ f − φ g ) − ( φ d − φ g ) = φ f − φ d = U f d = 70 − 64 = 6 В .

искомые токи будут

I 1 = U a b r 1 = 24 30 = 0,8 А , I 2 = U a c r 2 = 22 10 = 2,2 А , I 3 = U c b r 3 = 2 10 = 0,2 А , I 4 = I ′ = 1 А , I 5 = I ″ = 2 А , I 6 = U f d r 8 = 6 10 = 0,6 А , I 7 = U d g r 7 = 64 40 = 1,6 А , I 8 = U f g r 8 = 70 50 = 1,4 А .

Задача 52 . В схеме (рис. 53) найти токи, применив преобразование треугольника в звезду. Определить эквивалентное сопротивление между точками a и b.

Приложенное напряжение U = 30 В; сопротивления: r1 = 60 Ом, r2 = 120 Ом, r3 = 180 Ом, r4 = 80 Ом, r5 = 120 Ом.

Определить показание ваттметра и убедиться в том, что оно равно сумме мощностей, расходуемых во всех сопротивлениях.

Задача 53 . Вычислить токи, проходящие во всех ветвях схемы (рис. 54), если E = 213 В, E1 = 90 В, r1 = 6 Ом, r2 = 40 Ом, r3 = 10 Ом, r4 = 100 Ом, r5 = 60 Ом.

Задачу решить преобразованием треугольника в эквивалентную звезду. Внутренними сопротивлениями источников напряжения пренебречь.

Определить входное сопротивление относительно ветви r1 и взаимное сопротивление ветвей r1 и r2.

Задача 54 . Определить величины токов, проходящих по цепи, схема которой показана на рис. 55.

Задачу решить методами контурных токов и узловых потенциалов.

Задача 55 . Для схемы (рис. 56, а) найти методом эквивалентного генератора напряжения ток в ветви с сопротивлением r1, если E1 = 18 В, E2 = 21 В, r10 = 1 Ом, r1 = 2 Ом, r20 = 0, r2 = 9 Ом, r3 = 6 Ом.

Разомкнем цепь, содержащую сопротивление r1, и найдем напряжение между точками m и n (рис. 56, б).

Очевидно, что в разомкнутой ветви тока нет, точки m и p равнопотенциальны (φm = φp), а потенциал точки q превышает потенциал точки n на величину φqφn = E1.

Найдем напряжение Upq. Для этого сначала определим ток в контуре psqp

I = E 2 r 2 + r 20 + r 3 = 21 15 = 1,4 А .

Для нахождения тока в ветви r1 сначала определим сопротивление короткого замыкания (рис. 56, в)

r k = r 2 ⋅ r 3 r 2 + r 3 = 9 ⋅ 6 15 = 3,6 О м .

I 1 = U x r 1 + r 10 + r k = 26,4 1 + 2 + 3,6 = 4 А .

Этот ток течет от точки m к точке n.

Задача 56 . Методом эквивалентного генератора напряжения найти ток (рис. 57, а), проходящий через сопротивление r5, если E = 120 В, r1 = 60 Ом, r2 = 15 Ом, r3 = 90 Ом, r4 = 60 Ом, r5 = 12 Ом. Внутреннее сопротивление источника напряжения равно нулю.

Разомкнем сопротивление r5 и. найдем напряжение между точками c и e (рис. 57, б).

I ′ = E r 1 + r 2 = 120 75 = 1,6 А , I ″ = E r 3 + r 4 = 120 150 = 0,8 А , φ a − φ c = U a c = I ′ ⋅ r 1 = 1,6 ⋅ 60 = 96 В , φ a − φ d = U a d = I ″ ⋅ r 3 = 0,8 ⋅ 90 = 72 В , ( φ a − φ c ) − ( φ a − φ d ) = φ d − φ c = U d c = 24 В .

Теперь найдем сопротивление короткого замыкания. Определим его двумя способами.

1) Путем непосредственного подсчета по схеме.

В этом случае надо э.д.с. выключить, оставив ее внутреннее сопротивление, равное в данном случае нулю (рис. 57, в). Сопротивление короткого замыкания двухполюсника равно сопротивлению цепи между точками c и d

r k = r 1 ⋅ r 2 r 1 + r 2 + r 3 ⋅ r 4 r 3 + r 4 = 60 ⋅ 15 75 + 90 ⋅ 60 150 = 48 О м .

2) То же сопротивление можно найти и другим путем. Для этого надо замкнуть точки c и d накоротко, вычислить ток Iк, протекающий через короткозамкнутый участок (рис. 57, г), и сопротивление короткого замыкания определить по формуле (20).

Сопротивление схемы равно

r c x = r 1 ⋅ r 3 r 1 + r 3 + r 2 ⋅ r 4 r 2 + r 4 = 60 ⋅ 90 150 + 15 ⋅ 60 75 = 48 О м .

Найдем токи в ветвях

I 0 = E r c x = 120 48 = 2,5 А , I ′ 1 = I 0 ⋅ r 3 r 1 + r 3 = 2,5 ⋅ 90 150 = 1,5 А , I ′ 2 = I 0 ⋅ r 4 r 2 + r 4 = 2,5 ⋅ 60 75 = 2 А .

I k = I ′ 2 − I ′ 1 = 0,5 А .

Сопротивление короткого замыкания (формула 20) равно

r k = U x I k = 24 0,5 = 48 О м .

Искомый ток находим по формуле (21)

I 5 = U x r 5 + r k = 24 12 + 48 = 0,4 А .

Задача 57 . Для схемы (рис. 58) методом эквивалентного генератора напряжений найти ток в ветви с сопротивлением r3, если E1 = 5 В, E2 = 7 В, r1 = 7,5 Ом, r2 = 2,5 Ом, r3 = 5 Ом, r4 = 2 Ом, r5 = 25 Ом, r10 = r20 = 0.

Задача 58 . Пользуясь методом эквивалентного генератора напряжений, найти э.д.с. и внутреннее сопротивление источников, эквивалентных каждой из схем (рис. 59 а, б, в и г; 0 U 0 = k ⋅ E ⋅ r r 1 + k ⋅ r , r k = ( 1 − k ) ⋅ r + k ⋅ r ⋅ r 1 k ⋅ r + r 1 ;

4) U 0 = E ⋅ r 3 r 4 r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 1 r 4 + r 2 r 3 + r 3 r 4 , r k = r 4 ⋅ ( r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 ) r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 1 r 4 + r 2 r 3 + r 3 r 4 .

Задача 59 . По показаниям приборов, полученным из двух опытов, найти э.д.с. и внутреннее сопротивление источника электрической энергии, эквивалентного схеме (рис. 60), в случаях:

Похожие статьи:

  • Отличие провода пунп от ввг Чем отличается ВВГ от ПУНП? Чем отличается ВВГ от ПУНП? Вроде сечение одинаковое, изоляция двойная. Можно ли проводку делать ПУНПом, если она заштукатуривается? Сырьём для ПВХ, методикой испытаний. Этот кабель выпускается по ГОСТ, а […]
  • Как соединить провода интернета обжать Как обжать витую пару В сегодняшней статье я расскажу о том, как правильно обжать сетевой кабель “витая пара” и какие инструменты и аксессуары для этого понадобятся. Конечно, до сих пор встречаются умельцы, которые могут это сделать с […]
  • Заземление гру Заземление гру п. 2.2.19 ПБ 12-529-03: 2.2.19. Надземные газопроводы при пересечении высоковольтных линий электропередачи, должны иметь защитные устройства, предотвращающее падение на газопровод электропроводов в случае их обрыва. […]
  • Обрыв телефонного кабеля куда звонить Не работает стационарный телефон Ростелеком, что делать? Городской телефон, хоть давно и пережил себя, но все равно остается на дежурстве у многих абонентов. А вот проблемы, связанные с отсутствием связи или качеством работы городской […]
  • Можно ли подключить узо без заземления Подключение УЗО без заземления Специальные устройства защитного отключения (УЗО) рекомендуют устанавливать там, где существует высокая вероятность поражения током. Задачей устройства является оперативное отключение всего электрического […]
  • Заземление этажного щита Этажный щиток. Заземление. дом 9-ти этажный, 7-ми подъездный, 87 года выпуска (сделан из блок-комнат). 2 ввода. от ТП идет два кабеля 4-х жильного. щитки на этажах на 4-ре квартиры. к этажным щиткам идет 4 кабеля: 3 фазы, ноль. в этижном […]